Полоцкий государственный университет

Полоцкий
государственный
университет

УМК Функции нескольких переменных. Интегральные исчисления

Функции нескольких переменных. Интегральные исчисления: Учеб.-метод. комплекс для студ. технических спец. / Сост. и общ. ред. Н.В. Цывиса. – Новополоцк: ПГУ, 2006. - 355 с.
Рассмотрены функции нескольких переменных, неопределенный интеграл, определенный интеграл, двойной и тройной интегралы. Приведены примеры решения основных задач.

Цывис Николай Васильевич

Николай
Васильевич
ЦЫВИС

кандидат физико-математических наук, доцент

Закончил механико-математический факультет Белорусского государственного университета. Сфера научных интересов автора - дифференциально-операторные уравнения в банаховых пространствах. Занимается разработкой методики преподавания по дисциплинам для средней и высшей школы. Член жюри областных олимпиад по математике с 1990г. Автор более 100 научных и научно-методических статей, учебника для старших классов с углубленным изучением математики. Его ученики и студенты являются победителями республиканских олимпиад.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

МОДУЛЬ 1. Функции нескольких переменных
§ 1. О функциональных зависимостях между несколькими переменными
§ 2. Понятие евклидового пространства R2 и R3. Топология R2
§ 3. Примеры и упражнения
§ 4. Функции двух переменных. Понятие функции n переменных
§ 5. Предел функции нескольких переменных
§ 6. Непрерывность функции нескольких переменных
§ 7. Дифференцирование функций нескольких переменных
§ 8. Дифференцируемость функции нескольких переменных
§ 9. Дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования
§ 10. Функции нескольких переменных, заданные неявно
§ 11. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух независимых переменных
§ 12. Частные производные и дифференциалы высших порядков
§ 13. Дифференциалы высших порядков
§ 14. Формула Тейлора для функции двух переменных
§ 15. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия. Достаточные условия
§ 16. Условный экстремум функции нескольких переменных
§ 17. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
§18. Основные задачи и примеры для функции нескольких переменных
18.1. Топология плоскости
18.2. Функция двух (нескольких) переменных
18.3. Предел функции нескольких переменных
18.4. Непрерывность функции нескольких переменных
18.5. Дифференцирование функций нескольких переменных
18.6. Дифференцируемость функции нескольких переменных
18.7. Дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцирование сложных и неявных функций
18.8. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных

МОДУЛЬ 2. Неопределенный интеграл
§ 1. Понятие неопределенного интеграла
1.1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл
1.2. Таблица неопределенных интегралов
1.3. Свойства неопределенного интеграла
§ 2. Основные методы интегрирования
2.1. Метод непосредственного интегрирования
2.2. Метод «подведения под знак дифференциала»
2.3. Метод замены переменной или подстановки
2.4. Метод интегрирования по частям
§ 3. Интегрирование рациональных функций
3.1. Понятие о рациональных функциях
3.2. Интегрирование простейших рациональных дробей
3.3. Разложение рациональной дроби на простейшие
3.4. Интегрирование рациональных дробей
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
4.1. Интегрирование дифференциалов R(sin x, cos x)dx
4.2. Интегралы вида Im,n= ? sinm x cosn xdx
4.3. Интегралы вида In = ? tgn xdx, In = ? ctgn xdx
4.4. Интегралы вида I = ? sin x * cos bxdx, I = ? cos ax * cos bxdx, I = ? sin ax * sin bxdx
§ 5. Интегрирование выражений, содержащих радикалы
5.1. Интегрирование функций вида R(x, n?(ax + b)/ (cx + d))
5.2. Интегрирование функций вида R(x, ?ax2 + bx + c)
5.3. Интегрирование функций вида R(x, ?ax2 + bx + c)
5.4. Интегрирование дифференциального бинома
5.5. Интегрирование биноминальных дифференциалов
5.6. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

МОДУЛЬ 3. Определенный интеграл
§ 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
1.1. Площадь криволинейной трапеции
1.2. Работа переменной силы
§ 2. Определенный интеграл
2.1. Интегральная сумма. Определение определенного интеграла
2.2. Основные свойства определенного интеграла
2.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
§3. Формула Ньютона-Лейбница
§4. Вычисление определенных интегралов
4.1 Вычисление определенных интегралов с помощью интегральных сумм
4.2. Вычисление определенных интегралов, опираясь на геометрический смысл определенных интегралов
4.3. Вычисление интегралов по формуле Ньютона-Лейбница
§5. Замена переменной в определенном интеграле
§6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
§7. Несобственные интегралы
7.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)
7.2. Свойства и вычисление несобственных интегралов 1 рода
7.3. Несобственные интегралы от неограниченной функции на конечном промежутке (несобственный интеграл второго рода)
7.4. Свойства и вычисление несобственных интегралов второго рода
7.5. Особые приемы вычисления несобственных интегралов
§ 8. Интегрирование как процесс суммирования. Приложения определенного интеграла
8.1. Общая схема применения интегрального исчисления
8.2. Вычисление площадей плоских фигур
8.3. Площадь плоской фигуры
8.4. Длина дуги плоской кривой
8.5. Объем тела
8.6. Объем тела вращения
8.7. Площадь поверхности вращения
8.8. Приложение определенных интегралов к вопросам физики, механики и техники
§ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов
9.1. Постановка задачи
9.2. Формула прямоугольников
9.3. Формула трапеций
9.4. Формула Симпсона

МОДУЛЬ 4. Двойной интеграл
§ 1. Определение двойного интеграла
§ 2. Повторный интеграл. Свойства повторного интеграла
§ 3. Вычисление двойного интеграла
§ 4. Замена переменных в двойном интеграле
§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах
§ 6. Приложения двойного интеграла
6.1. Вычисление площадей плоских фигур
6.2. Вычисление объемов тел
6.3. Вычисление площадей поверхностей

МОДУЛЬ 5. Тройной интеграл
§ 1. Задача о вычислении массы тела
§ 2. Определение тройного интеграла и условия существования
§ 3. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов
§ 4. Вычисление тройного интеграла
§ 5. Замена переменных в тройном интеграле
§ 6. Приложения тройного интеграла

ЛИТЕРАТУРА